Selasa, 17 Februari 2009

Mengapa Perkalian 2 Bilangan Negatif Menghasilkan Bilangan Positif?

Sewaktu masih duduk di bangku SD ataupun di SMP, kita diajarkan bahwa perkalian 2 bilangan negatif akan menghasilkan bilangan positif. Mungkin pada waktu itu kita terheran-heran mengapa bisa demikian halnya. Walaupun demikian, sedikit dari kita yang berani bertanya kepada bapak atau ibu guru kita tentang alasannya. Kalaupun ada diantara kita yang bertanya, banyak di antara guru matematika yang tidak tahu alasannya (mungkin kerena mereka juga tidak pernah bertanya mengapa begitu kepada guru mereka). Jadi kita hanya menerimanya saja tanpa tahu alasannya.
Secara intuisi kita dengan mudah menerima bahwa perkalian bilangan negatif dengan bilangan positif akan menghasilkan bilangan yang negatif juga. Hal ini bisa dengan mudah kita jelaskan dengan contoh sebagai berikut: 5 x -4 = (-4) + (-4) + (-4) + (-4) + (-4) = -20. Tetapi perkalian dua bilangan negatif yang menghasilkan bilangan positif sangatlah tidak intuitif buat kita.
Mau tahu alasannya secara matematika? Inilah selangkah demi selangkah ilustrasi mengapa perkalian 2 bilangan negatif menghasilkan bilangan positif.
  1. Nol dikalikan dengan bilangan apa saja akan sama dengan nol, jadi 0 x N = 0.
  2. Setiap bilangan mempunyai tepat satu bilangan yang disebut Invers Penjumlahan. Ini artinya adalah jika N sebuah bilangan positif, maka –N adalah invers penjumlahannya sehingga N + (-N) = 0. Demikian juga invers penjumlahan dari –N adalah N (karena (-N) + N = 0).
  3. Hukum distributif, yaitu: a x (b+c) = a x b + a x c, juga berlaku untuk bilangan negatif.
  4. Berikutnya, akan diperlihatkan bahwa perkalian bilangan negatif dengan bilangan positif akan menghasilkan bilangan negatif. Untuk “membuktikan”nya kita akan menggunakan argumen nomor 1 sampai dengan 3 di atas. Kita ambil contoh perkalian berikut ini: 3 x ( 4 + (-4) ). Hal ini sama artinya 3 x (0) = 0 (berdasar argumen nomor 1 di atas). Dengan menggunakan hukum distributif (argumen nomor 3) maka perkalian di atas menjadi sebagai berikut 3 x 4 + 3 x (-4) = 0. Berdasar argumen nomor 2, maka dapat diambil kesimpulan 3 x (-4) adalah invers penjumlahan dari 3 x 4. Kita tahu bahwa 3 x 4 = 12, dan invers penjumlahan 12 adalah -12. Maka 3 x (-4) pastilah sama dengan -12. Jadi kita telah ”membuktikan” bahwa perkalian bilangan negatif dengan bilangan positif akan menghasilkan bilangan negatif.
  5. Sekarang akan diperlihatkan bahwa perkalian 2 bilangan negatif akan menghasilkan bilangan positif. Untuk “membuktikan” hal itu kita akan menggunakan argumen nomor 1 sampai dengan 4 di atas. Kita ambil contoh perkalian berikut ini: -3 x ( 7 + (-7) ). Hal ini sama artinya -3 x (0) = 0 (berdasar argumen nomor 1 di atas). Dengan menggunakan hukum distributif (argumen nomor 3) maka perkalian di atas menjadi sebagai berikut -3 x 7 + (-3) x (-7) = 0. Berdasar argumen nomor 2, maka dapat diambil kesimpulan (-3) x (-7) adalah invers penjumlahan dari -3 x 7. Kita tahu bahwa -3 x 7 = -21 (berdasar argumen nomor 4), dan invers penjumlahan -21 adalah 21. Maka (-3) x (-7) pastilah sama dengan 21. Jadi kita telah ”membuktikan” bahwa perkalian 2 bilangan negatif akan menghasilkan bilangan positif.
Indah bukan? Semoga penjelasan di atas tidak membuat pusing dan bingung. Sebagai catatan akhir, pembuktian formal matematika hasil perkalian dua bilangan negatif adalah bilangan positif dikerjakan dengan mempergunakan Teori Field yang cukup rumit untuk dijelaskan disini. Salam.

Selasa, 20 Januari 2009

Musik dan Matematika

Sudah menjadi hal yang biasa apabila banyak orang membayangkan bahwa matematika hanya merupakan kumpulan angka dan rumus, sesuatu yang menakutkan, sulit, abstrak, dingin tak berperasaan. Sebaliknya, musik kita kenal sebagai bagian dari seni yang merupakan “bahasa” yang universal, disukai oleh hampir setiap orang dari berbagai latar belakang agama, budaya, pendidikan, dan sebagainya. Musik dipenuhi oleh luapan emosi dan perasaan. Dari hal tersebut inilah, kebanyakan orang menduga bahwa musik dan matematika tidak mempunyai keterkaitan satu dengan yang lainnya. Hal ini sungguh merupakan suatu kesimpulan yang salah.

Dimulai di era Yunani kuno, di masa Pythagoras, Plato dan Aristoteles, musik (atau tepatnya teori musik) dikategorikan sebagai salah satu cabang ilmu pasti. Di masa itu, ilmu pasti meliputi 4 cabang ilmu yaitu Teori Bilangan, Geometri, Musik dan Astronomi. Pembagian ilmu pasti menjadi 4 cabang ini dikenal dengan istilah quadrivium (Empat Jalan). Sampai sekitar akhir abad pertengahan (sekitar 1500 SM), Musik dikategorikan sebagai salah satu cabang ilmu pasti. Sejak jaman Renaissance, musik menjadi bidang ilmu yang mandiri dan terpisah dari ilmu pasti. Meskipun demikian, keterkaitan matematika (ilmu pasti) dan teori musik masih terpelihara sampai sekarang.

Banyak ahli matematika terkenal yang mempunyai minat di bidang musik dan menulis buku tentang musik. Rene Descartes, yang terkenal dengan koordinat Cartesiusnya, menulis kompendium musik. Marin Mersenne, sang penemu bilangan Mersenne yang merupakan rumusan yang dipakai sebagai dasar dalam perburuan bilangan prima, menulis beberapa buku tentang harmoni musik. John Wallis, ahli matematika paling berpengaruh di Inggris Raya sebelum jaman Newton, menulis beberapa buku kritik dibidang teori musik. Di tahun 1731, Leonard Euler menulis buku teori musik yang berjudul Tentamen Novae Theoriae Musicae. Oleh kebanyakan pembacanya, buku tersebut dianggap sebagai terlalu sulit dimengerti buat para musisi dan terlalu musikal buat ahli maematikat. Jean d’Alembert, yang terkenal dengan ratio test d’Alembert untuk menguji konvergensi suatu deret, juga menulis beberapa buku teori musik.

Banyak ahli matematika terkenal yang juga merupakan komponis ataupun pemain musik. Pythagoras, selain terkenal sebagai ahli Geometri, ahli Teori Bilangan (Number Theory) dan ahli teori musik, dia juga merupakan seorang komponis serta mampu memainkan beberapa alat musik yang ada di jamannya.

Teori musik dan komposisi musik memerlukan cara berfikir abstraksi dan perenungan, yang pada dasarnya hal ini sangat mirip dengan cara berfikir di dalam matematika. Musik memakai bahasa simbolis dan sistem notasi yang cukup rumit. Pemakaian diagram di bidang musik bukan merupakan hal yang asing lagi, bahkan ada diagram yang mirip dengan koordinat cartesius berdimensi dua. Selain itu, banyak istilah matematika digunakan juga di bidang musik seperti misalnya simetri, periodik, proporsi dan kontinuitas. Panjang dari interval, durasi, ritme, tempo, beberapa istilah musik lainnya dinyatakan dengan bilangan bulat ataupun bilangan pecahan.

Edward Rothstein, kepala seksi kritik musik harian New York Times yang berlatar belakang pendidikan matematika murni, dalam bukunya Emblems of Mind: The Inner Meaning of Music and Mathematics, mengatakan bahwa musik dan matematika mempunyai kemiripan dalam memanipulasi pikiran dan emosi kita semua. Keduanya melatih kita untuk mencari dan menafsirkan pola-pola yang terdapat di sekitar kita.


Sungguh, musik dan matematika membagikan keindahan dan misteri untuk kita semua.

Selasa, 13 Januari 2009

Cloacking Technology: Science Fiction atau Kenyataan?

Dalam film seri Star Trek: The Next Generation, bangsa Klingon dan Romulan memiliki teknologi cloaking sehingga pesawat perang luar angkasa mereka (yaitu war birds) dapat menjadi kasat mata karena transparan terhadap pesawat yang lain. Tentara Jem’Hadar di film seri Star Trek: Deep Space Nine juga memakai alat cloacking di badannya (wearable cloaking device) sehingga mereka menjadi tak terlihat mata oleh musuh mereka. Teknologi cloaking seperti ini tidak hanya muncul dalam film seri Star Trek tetapi juga dapat ditemui di film seri bertema science fiction lainnya seperti Stargate SG-1 , dll.


Dalam dunia nyata, apakah teknologi cloaking seperti ini dimungkinkan? Dalam artikel di majalah Science bulan Nopember 2008, Ulf Leonhardt dari Universitas St. Andrew (Skotlandia) dan Tomas Tyc dari Universitas Masaryk (Repulik Ceko) menjelaskan bahwa secara matematika, teknologi cloaking ini dimungkinkan. Dari sudut pandang matematika, cloaking tersebut merupakan transformasi ruang datar yang membuat cahaya mengikuti alur berbentuk kurva yg melingkupi suatu obyek. Untuk menjelaskan hal tersebut, Lendhardt dan Tyc memakai Geometri non-Euclidean yg didasarkan pada bidang lengkung yang kemudian berpotongan dengan bidang datar Geometri Euclidean. Pada dasarnya, dari sumber cahaya, alur paket cahaya akan mengikuti bidang datar Geometri Euclidean, pada waktu paket cahaya tersebut melewati benda yang di”cloack”, paket cahaya tersebut mengikuti bidang lengkung berdasar Geometri non-Euclidean yang kemudian akan menyelimuti benda tersebut sebelum paket cahaya tersebut sampai ke observer atau pengamat.

Selasa, 06 Januari 2009

Matematika & Lagu "A Hard Day's Night"

Pernah dengar lagu hit Beatles berjudul A Hard Day’s Night? Selama 40 tahun, tak seorangpun yang tahu chord yang dipakai oleh gitaris George Harrison di awal lagu tersebut. Chord tersebut menjadi misteri sampai pada akhirnya Professor Jason Brown dari Universitas Dalhousie menemukan jawabannya. Dalam memecahkan misteri tersebut, Professor Jason memakai teknik matematika yaitu Fourier Transform untuk mendekomposisi suara chord aneh tersebut ke original frequency.

Dari hasil analisa, frequensi suara chord tersebut ternyata tidak cocok dengan gitar Rickenbacker 12-string milik George Harrison maupun gitar 6-string milik John Lennon ataupun bass gitar milik Paul McCartney. Professor Jason Brown berkesimpulan bahwa suara chord aneh tersebut dihasilkan dengan menyelipkan chord piano George Martin. George Martin adalah produser Beatles yang sering ikut rekaman bersama Beatles dan dikalangan musik, dia sering disebut sebagai anggota kelima band Beatles. Hasil analisa tersebut dipublikasikan di majalah Guitar Player. Mungkin Professor Jason Brown merupakan satu-satunya Matematikawan yang menulis artikel untuk majalah musik.

Setelah memecahkan misteri tersebut, Professor Jason Brown berencana menggunakan matematika untuk menguak misteri lagu In My Life (Beatles). Lagu In My Life adalah satu-satunya lagu Beatles yang diperebutkan dan diklaim oleh John Lennon maupun Paul McCartney sebagai lagu ciptaan mereka sendiri. Sampai sekarang belum dapat dibuktikan siapa sesungguhnya yang mencipta lagu tersebut, John Lennon ataukah Paul McCartney. Kita tunggu hasilnya.